Cinemática

El pasajero del tren

Vas sentado en un tren que avanza suave, sin traqueteo. Para la persona del asiento de enfrente, no te has movido en todo el viaje: sigues a un metro de ella.

Para alguien parado en el andén, en cambio, has pasado zumbando. ¿Quién tiene razón? Los dos.

Un cuerpo está en movimiento si su posición cambia respecto del punto desde el que se mide, y en reposo si no cambia. Ese punto de observación elegido es el sistema de referencia.

No hay un observador «de verdad»

No existe un sistema de referencia privilegiado desde el que se decida quién se mueve de verdad. Ni siquiera el suelo: la Tierra también gira y viaja alrededor del Sol.

Por eso el movimiento es relativo: la respuesta a «¿se mueve?» depende de desde dónde se mire. Y por eso, antes de resolver nada, hay que elegir desde dónde se mide.

Elegir el sistema de referencia es decidir qué es + y qué es −

En los movimientos de este curso todo ocurre sobre una recta. Elegir sistema de referencia son dos decisiones: dónde está el origen (el cero) y cuál es el sentido positivo.

A partir de ahí, el signo trabaja para ti: «si voy para allá, las magnitudes son positivas; si me muevo para el otro lado, negativas». Y ojo: hay dos ejes, no uno. El eje x para lo que se mueve en horizontal y el eje y para lo que sube o cae — que en esta unidad también hay cosas que caen.

Lo primero de todo problema de cinemática: elegir el sistema de referencia y declararlo en el esquema. En el examen, decir «b) y c) son verdaderas» sin nombrar desde dónde se mide es una respuesta a medias.

Posición, desplazamiento y espacio recorrido

Con el sistema de referencia puesto, ya se puede medir. Pero «cuánto te has movido» tiene tres respuestas distintas, y conviene no mezclarlas:

• Posición (x). Dónde estás ahora, medido desde el origen y con su signo. Es una foto, no un viaje. Dibujada, es una línea que sale del origen:

• Desplazamiento (Δx). El cambio de posición: de dónde saliste a dónde has llegado, x_f − x₀. Le da igual el camino que hayas hecho entre medias:

• Espacio recorrido (s). Todo lo que has andado, sumado sin signos: la suela de zapato gastada. Al camino que sigues se le llama trayectoria. Compara las dos medidas sobre el mismo viaje y se ve la diferencia:

La diferencia se ve sola en cuanto paseas un poco. Prueba: avanza, retrocede, vuelve a la salida — y mira qué contador se entera y cuál no.

El viaje que lo delata todo: ir y volver

Imagina que vas a un buzón que está a 200 m y vuelves a casa. Has andado 400 m — y tu desplazamiento es cero, porque acabas exactamente donde empezaste.

¿Absurdo? No: son dos preguntas distintas. El espacio cuenta lo andado; el desplazamiento solo compara el final con el principio. Míralo en cuatro viajes, con las dos medidas dibujadas a la vez:

En las hojas y en el examen, estas medidas se piden juntas a propósito. Grábatelo: con cambio de sentido, el espacio recorrido siempre gana al desplazamiento; sin él, coinciden.

Qué es la velocidad

La velocidad mide cómo cambia la posición con el tiempo: cuánto te mueves en cada segundo. Por eso sus unidades son metros por segundo.

Decir v = 20 m/s significa que cada segundo tu posición cambia 20 m en el sentido +. Partiendo del origen: al primer segundo estás en 20 m, y a los 4 s, en 80 m.

La velocidad lleva flecha (y en una recta, la flecha es el signo)

Pero el cambio de posición puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda del eje — hacia posiciones positivas o negativas. Por eso la velocidad es una magnitud vectorial: además del número necesita dirección y sentido.

En los movimientos rectilíneos de este curso, ese trabajo lo hace el signo. Compara los mismos 4 segundos con dos velocidades distintas:

Al número solo, sin la flecha, se le llama rapidez. Ojo con leer el signo como «va más lento»: −30 m/s es más rápido que +20 m/s, solo que hacia el otro lado.

El velocímetro y el viaje entero

Hay dos velocidades que conviene no confundir, porque responden a preguntas distintas:

‹›

×

‹›

El velocímetro marca la velocidad de este preciso instante: la velocidad instantánea. Un segundo después puede marcar otra cosa.1/2

• Velocidad instantánea. La de este momento: lo que marca el velocímetro ahora mismo. Cambia cada vez que aceleras o frenas.
• Velocidad media. La del viaje completo: desplazamiento entre tiempo, Δx/Δt. Piensa en un viaje en coche: 400 km y has tardado 4 h. ¿A qué velocidad has ido? A 400/4 = 100 km/h… aunque un radar te cazara un tramo a 120 — eso lo marcó el velocímetro en un momento concreto. La media es la velocidad constante a la que habrías hecho el mismo viaje en el mismo tiempo.

Fíjate: la media no es «la media de las velocidades» que has ido llevando. Es un solo número que resume el viaje. Practícalo:

Y una pregunta que te dejo plantada: ¿cuándo marcan lo mismo el velocímetro y la media del viaje? Piénsala — se cobra en el siguiente bloque.

Mismo espacio en el mismo tiempo

Que la velocidad sea constante quiere decir exactamente esto: «recorro el mismo espacio en el mismo tiempo. Si voy a 3 m/s, cada segundo recorro 3 metros. Y el siguiente, otros 3».

Míralo con marcas: cada segundo, una raya en el suelo. Si las rayas salen igual de separadas, la velocidad no ha cambiado.

Un movimiento es rectilíneo uniforme cuando cumple las dos cosas que dice su nombre: la trayectoria es una recta y la velocidad es constante — en módulo, en dirección y en sentido.

Aquí se cobra la pregunta del bloque 0

¿Cuándo marcan lo mismo el velocímetro y la media del viaje? En el MRU. Si la velocidad vale siempre lo mismo, la media de algo que no cambia es ese mismo valor.

Leerla término a término

Todo el MRU cabe en una línea. ¿Por qué con x? Porque por lo general nos vamos a mover en el eje X:

x(t) = x₀ + v·t

Lo importante no es memorizarla, es saber leerla. Cada término cuenta una cosa:

• x₀ — de dónde sale. El término independiente es la posición inicial. Y no tiene por qué ser cero: casi nunca se sale del origen.
• v — cuánto y hacia dónde. El número que multiplica a t es la velocidad, con su signo: positiva se aleja, negativa vuelve.
• Y lo que NO está también habla. No hay término con t²: la velocidad no cambia. En cuanto veas un t², estarás en otro bloque.

De ecuación para la velocidad no hay: la velocidad es siempre la misma. Esa es la gracia del MRU.

Tócala tú — mueve los tres mandos y mira qué hace cada término:

El signo de v: el mismo problema, dos películas

Un mismo esquema se resuelve dos veces cambiando solo el signo de v. Compara:

Un resultado tiene que tener sentido. Si el tiempo te sale negativo, no «le quitas el signo»: has cometido un fallo de razonamiento en algún paso, y hay que ir a buscarlo — en este caso, en el sentido de la velocidad.

Este método vale para todos los problemas de la unidad — MRU, frenadas, caídas, encuentros. Se presenta aquí y no se cambia nunca:

Un caso completo, con los 4 pasos a la vista

¿Sustituir o despejar? La pregunta lo dice

• Te dan el tiempo («¿dónde está a los 15 s?») → sustituyes t en la ecuación y sale la posición.
• Te dan la posición («¿cuándo llega a…?») → impones la condición x(t) = ese valor y despejas t.

El error clásico de la tabla: te dan posiciones, y en vez de dividir entre v para sacar el tiempo, se multiplica. Antes de operar, pregúntate: ¿qué me dan y qué me piden?

Las unidades también son física

Casi la mitad de los fallos de esta unidad son de unidades. Dos conversiones van a salir una y otra vez, así que mejor entenderlas ya:

Y el último gesto de todo problema: mirar el resultado y preguntarse si tiene sentido. A 50 km/h, en unas 10 horas salen unos 500 km — si te han salido 5 millones, algo se ha mezclado por el camino.

Qué hay en cada eje

La gráfica estrella de la unidad es la x-t: en el eje horizontal va el tiempo en segundos, y en el vertical la posición en metros. Los dos ejes llevan siempre su magnitud y su unidad — una gráfica con los ejes sin rotular no dice nada.

Y el primer aviso es el más importante de todos: la gráfica no es una foto del camino. Compara las dos imágenes:

Las tres lecturas

Con los ejes claros, cualquier x-t del MRU se lee con tres reglas:

• Sube. La posición crece con el tiempo: el móvil se aleja del origen.
• Horizontal. El tiempo pasa y la posición no cambia: está parado. Parado — no «va lento», no «va constante».
• Baja. La posición disminuye: vuelve hacia el origen. Su velocidad es negativa.

Pruébalas sobre una gráfica de verdad — pulsa cada tramo y léelo:

La pendiente es la velocidad — y se calcula, no se mira

Cuanto más inclinada la recta, más rápido va el móvil. Pero «a ojo» no vale: la pendiente se calcula con dos puntos: «la variación de mi eje Y entre la variación de mi eje X».

Más pendiente en la x-t no es acelerar: es ir más rápido, a velocidad constante. La aceleración se vería como curvatura, no como inclinación — y en este bloque todas las rectas son rectas.

La gráfica y la ecuación dicen lo mismo

Una recta en la x-t y la ecuación x(t) = x₀ + v·t son la misma información escrita en dos idiomas. El diccionario tiene dos entradas:

• El corte con el eje vertical es x₀. «El punto donde corta con el eje, que va a ser el tiempo 0, me dice la posición desde la que sale ese cuerpo.»
• La pendiente es v. La que acabas de aprender a calcular con dos puntos — con su signo.

El tramo que no empieza en t = 0

Aquí está el apartado que separa notas en los exámenes de este bloque. Si un tramo empieza a mitad de viaje, su ecuación tiene que descontar el tiempo ya gastado.

La ecuación de un tramo sin descontar el tiempo es el error más repetido de todo el bloque. El antídoto es gratis: comprueba tu ecuación en un vértice antes de seguir.

Espacio, desplazamiento y media: la gráfica también los da

Las tres medidas del bloque 0 se leen directamente de la x-t:

• Espacio recorrido. Se suma tramo a tramo, sin signos. Las bajadas también suman camino.
• Desplazamiento. Posición final menos inicial, con signo. Si vuelve al punto de salida, es cero — aunque haya andado todo el día.
• Velocidad media. Δx entre Δt del viaje entero. Nunca «la media de las velocidades de los tramos».

En el MRU, la v-t es siempre horizontal

La segunda gráfica pone la velocidad en el eje vertical. Y como en el MRU la velocidad no cambia, su v-t es siempre una recta horizontal:

• La altura es v. Un MRU a 3 m/s es una horizontal a la altura 3, desde el primer segundo hasta el último.
• El signo la coloca. Si el móvil vuelve (v = −3 m/s), la recta va por debajo del eje. Dibujarla por encima es un error clásico de examen.

El área bajo la v-t: un regalo que usaremos mucho

La v-t esconde un truco. Multiplica la altura (v) por la base (t) y sale v·t — que en el MRU es justo el espacio recorrido. El área del rectángulo bajo la recta ES el camino andado:

Ahora el rectángulo parece poca cosa. En el bloque 4, cuando la velocidad cambie, esta idea será la forma más rápida de calcular frenadas — guárdala.

La misma película, las dos gráficas a la vez

Junta todo. Elige un escenario, dale a reproducir y mira las dos gráficas dibujarse a la vez. Fíjate sobre todo en «Parado» y «Se aleja»: en los dos hay una horizontal… y no significan lo mismo.

Y aquí se cobra la pregunta de la entrada del bloque: una recta horizontal no basta para decir «parado». Primero los ejes; después, la lectura.

Dos ecuaciones, un solo origen y un solo reloj

Con dos móviles no hay nada nuevo que aprender: cada uno lleva su MRU y su ecuación. Lo único que hay que hacer es escribir las dos a la vez, como un bloque.

Lo que sí es nuevo, y es la idea de todo el bloque, cabe en una línea:

Las dos ecuaciones tienen que estar medidas desde el mismo origen y con el mismo reloj. Si cada una cuenta desde un sitio distinto, no se pueden comparar — y todo lo que venga después dará igual.

Por eso el esquema del paso 2 es uno solo, con los dos móviles dentro. Eliges dónde pones el cero y hacia dónde es positivo, y esa elección vale para los dos.

Primero clasifica: ¿de frente o persiguiéndose?

Antes de escribir nada conviene mirar el dibujo y decidir qué está pasando. Solo hay dos posibilidades:

• Encuentro de frente. Van uno hacia el otro. Se acercan desde los dos lados, y por narices acaban coincidiendo. Uno de los dos va en contra del sentido positivo, así que su velocidad es negativa:
• Persecución (o alcance). Van los dos hacia el mismo lado, y el de detrás tiene que ir más rápido para llegar a ponerse a su altura. Aquí las dos velocidades tienen el mismo signo:

Ojo con una trampa fácil: eso se decide por los sentidos, no por las palabras del enunciado. Que diga «se encuentran» no significa que vengan de frente.

Y aquí es donde muerde el signo. En un encuentro de frente uno de los dos va en sentido contrario al positivo, así que su velocidad es negativa. En una persecución, las dos son positivas.

Poner las dos velocidades positivas en un encuentro de frente es el segundo error más repetido del bloque. No avisa con un mensaje de error: te sale un tiempo raro, o negativo, y ese resultado sin sentido es la señal de que hay un fallo de razonamiento que ir a buscar.

Y otra que conviene dejar clara desde ya: encontrarse no es ir igual de rápido. La condición iguala posiciones, nunca velocidades. En este bloque ni siquiera se puede confundir —dos velocidades constantes distintas no se igualan nunca—, pero en cuanto aparezca la aceleración habrá un instante en que uno alcance la velocidad del otro, y no será el instante en que lo alcance.

El mismo par, los dos casos

Lo bueno es que el esquema apenas cambia de un caso al otro. Mira los mismos dos coches, resueltos de las dos maneras: entre una versión y la otra solo cambia un signo.

Aquí tienes los dos casos en movimiento. Elige uno y dale a reproducir: arriba la carretera y abajo sus dos rectas, dibujándose a la vez.

Qué sé yo de dos cuerpos cuando se encuentran

El paso 4 del método pedía traducir la pregunta a una condición. Con un móvil era «se detiene, luego su velocidad es cero». Con dos, es esto:

«¿Qué sé yo de dos cuerpos cuando se encuentran? Pues que sí o sí, cuando se encuentren, va a haber algo que es igual: su posición respecto al origen.»

Fíjate en lo de respecto al origen, que no sobra. No es que hayan recorrido lo mismo — casi nunca recorren lo mismo. Es que están en el mismo punto.

Y ahora el movimiento que hay que hacer siempre: primero se dice con palabras, y luego se escribe en lenguaje matemático.

Eso convierte dos ecuaciones en una sola con una incógnita, y el resto es despejar.

Y después, las dos preguntas

Al resolver la condición sale el cuándo. El dónde se saca metiendo ese tiempo en una de las dos ecuaciones de posición.

¿En cuál de las dos? «Pues cualquiera, porque van a ser la misma.» Y de ahí sale gratis la comprobación: sustituye en la otra, y si no te da lo mismo, hay algo mal.

Las dos preguntas se contestan diciendo desde dónde y desde cuándo: la posición se mide desde el origen que tú elegiste, y el tiempo se cuenta desde que arranca el primero. Un número suelto, sin decir de quién es, no vale.

¿A mitad de camino? Casi nunca

Aquí se cobra la pregunta del principio. Nuria y Bruno salieron a la vez y se encontraron a 80 m de ella, no a 100. El punto medio no tiene nada que ver.

La razón es fácil de ver: han estado el mismo rato andando, así que el que va más rápido ha recorrido más trozo. El camino se reparte en proporción a las velocidades, y solo caen en el punto medio si los dos van exactamente igual de rápido.

Ese dibujo es además la segunda comprobación que sale gratis. De frente, los dos trozos suman la separación inicial. En una persecución, se diferencian en la ventaja que había que recuperar.

Dos atajos, y para qué sirven de verdad

Cuando salen a la vez hay dos formas rápidas de llegar al mismo número. Las cuento porque están bien, pero con una condición:

• La velocidad relativa. En la persecución de antes, la barredora le recorta 8 m cada segundo y tiene que recuperar 80: 80 ÷ 8 = 10 s. En el encuentro de frente se suman, porque se acercan por los dos lados.
• La proporción del reparto. Nuria y Bruno van a 10 y 15, así que el camino se parte en esa misma proporción: 80 m y 120 m de los 200.

Los dos son comprobaciones, no métodos: sirven para ver si el resultado tiene sentido, no para llegar a él. Y hay otra razón para no fiarse de ellos — el segundo deja de funcionar en cuanto uno de los dos sale más tarde, que es lo que viene en la última parada.

El punto donde se tocan es la respuesta

Todo lo del bloque anterior sirve aquí, y encima sale más barato. Si dibujas las dos rectas en la misma x-t, el encuentro es el punto donde se cortan.

Y no da una respuesta, sino las dos. Baja desde ese punto al eje horizontal y tienes el cuándo; llévalo al eje vertical y tienes el dónde.

Por eso muchos enunciados piden las dos vías: resolverlo con ecuaciones y representarlo. Son la misma respuesta contada en dos idiomas.

Las tres formas que puede tener

Solo hay tres dibujos posibles, y se distinguen de un vistazo:

El tercero merece un momento. Que dos rectas no se corten también es una respuesta, y hay que atreverse a darla: si los dos van en el mismo sentido y el de delante es más rápido, la distancia entre ellos no deja de crecer.

Cuidado con contestarlo mirando solo el dibujo. Que las rectas no se toquen dentro del recuadro no demuestra nada: podrían cortarse un poco más allá. Lo que lo demuestra es la pendiente, o el tiempo negativo que sale al imponer la condición.

Antes de leer un cruce, mira los ejes. Y antes de decir quién va más rápido, mira lo inclinada que está cada recta — no cuál está más arriba. Ir por delante y ir más rápido son cosas distintas.

Uno no sale tarde: está parado

Llega el caso que más se atraganta, y es el mismo problema de siempre con un detalle: «hay uno que está parado durante un cierto tiempo antes de empezar a moverse».

Merece la pena contarlo así, «está parado», y no «sale tarde». Porque el reloj es uno solo para los dos y empieza a contar cuando arranca el primero.

Mueve el mando y mira los dos números. A partir del arranque del segundo, la diferencia entre los dos relojes es siempre la misma: los segundos que estuvo esperando.

Cómo se llega ahí, sin aprendérselo

Ese (t − Δt) no hay que memorizarlo. Sale solo si escribes las ecuaciones con cuidado y te chocas con el problema, que es como se hace en clase.

El truco está en no dar por hecho que los dos llevan el mismo tiempo. Se les pone un subíndice a cada uno y se ve qué pasa.

Cuidado al desarrollar el paréntesis: 10·(t − 10) es 10·t menos 100. Ese signo es el fallo más frecuente en la cuenta, y tira el problema entero.

Y un matiz de la respuesta que vale medio ejercicio. Puedes sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones, «pero teniendo en cuenta que tendré que poner la ecuación de posición con el tiempo de Hugo. Este tiempo de Sara no podré utilizarle, o le debería de calcular antes».

Lo mismo pasa al dar el resultado: 25 s y 15 s son los dos verdaderos, pero no son lo mismo. Si dices un número, di de quién es.

La segunda condición: ¿le da tiempo?

Hay un tipo de pregunta que parece igual y no lo es. Uno persigue a otro, y el que huye corre hacia un sitio donde estará a salvo.

La primera cuenta —dónde lo alcanzaría— no contesta esa pregunta. Solo dice dónde se pondrían a la misma altura si nadie se parase por el camino.

Esta se decide comparando tiempos, no distancias: cuánto tarda en llegar a su refugio frente a cuánto tardarían en alcanzarlo. Comparar distancias es el error típico de este ejercicio.

Qué cambia respecto al MRU

En el bloque 1 la definición del MRU era «recorro el mismo espacio en el mismo tiempo». Si vas dejando una marca cada segundo, esas marcas salen igual de separadas.

Y ahí quedó dicho que había otro caso, el del móvil cuyas marcas se iban separando. Ese es este bloque. Mira las tres cintas a la vez:

Lo que hace falta es una magnitud nueva que diga cuánto cambia la velocidad en cada segundo. Se llama aceleración.

La unidad asusta más de lo que debería. Un coche con una aceleración de 3 m/s² es simplemente un coche que gana 3 m/s cada segundo: si iba a 10 m/s, un segundo después va a 13, y al siguiente a 16.

Léelo así siempre, en voz alta: «3 metros por segundo, cada segundo». Los m/s² no son una unidad rara: son metros por segundo (velocidad) repartidos entre segundos (tiempo).

Y como el bloque se llama MRUA, conviene deshacer las siglas: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado. Lo de «uniformemente» es la clave: lo que se mantiene constante es la aceleración, no la velocidad.

Las dos ecuaciones, y siempre las dos

Con la velocidad cambiando ya no basta una ecuación. Hacen falta dos, y se escriben juntas, como un bloque:

x = x₀ + v₀·t + ½·a·t²

v = v₀ + a·t

La segunda no da miedo: es la de siempre, con la velocidad creciendo a un ritmo fijo. La primera es la del MRU con un término más pegado detrás.

Cuidado con ese cuadrado, que se olvida mucho. Y con el ½ que lleva delante: es el error más repetido de todo el bloque. Sin él, la distancia sale justo el doble.

Se escriben las dos aunque solo vayas a usar una. Es lo que se corrige, y tiene su motivo: hasta que no tienes las dos delante no sabes cuál de ellas contesta la pregunta.

Qué dice el signo de la aceleración

La aceleración lleva signo, y ese signo es información física, no un adorno. Pero no dice lo que mucha gente cree.

La regla práctica, entonces, es de comparación y no de dirección:

• A favor de la velocidad (los dos con el mismo signo): el cuerpo gana velocidad. Acelera.
• En contra de la velocidad (signos opuestos): el cuerpo pierde velocidad. Frena.

Cámbiale el sentido a la flecha roja y mira la tabla de abajo: es lo único que cambia entre acelerar y frenar.

Un detalle de notación que se ve en muchos libros: al MRUA que frena algunos lo llaman MRUR, de «retardado». Aquí no se usa: es el mismo movimiento con la aceleración en contra, y darle otro nombre hace pensar que son dos cosas distintas.

Y guárdate esta frase, que en el bloque siguiente deja de valer: aquí, con el eje puesto a favor del movimiento, aceleración negativa es siempre frenar. Cuando el movimiento sea vertical, la misma aceleración frenará al subir y acelerará al bajar.

Frenar: la condición es v = 0

El paso 4 del método pedía traducir la pregunta a una condición. Con dos móviles era «sus posiciones son la misma». Aquí es todavía más sencillo:

«¿Qué es imponer una condición? Pues saber qué sé yo de eso. Por ejemplo, qué sé yo de la velocidad cuando el cuerpo se detiene: pues que la velocidad en ese instante es cero.»

Fíjate en qué ecuación resuelve eso: la de la velocidad, que es la que tiene una v y una t. De ahí sale el tiempo, y con el tiempo se va a la otra a por la distancia.

Cuando no te dan ni el tiempo ni la aceleración

A veces el enunciado da la velocidad de partida y los metros que tarda en pararse, y nada más. Entonces hay que chocarse con el problema antes de resolverlo.

«Yo ya veo que de esta ecuación no voy a poder sacar mucho, porque tengo dos incógnitas. Así que necesito otra ecuación… Mira lo que nos ha quedado aquí: un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Siempre en cinemática vamos a resolver por el método de sustitución.»

Y hay una elección que decide si el sistema es fácil o es una pelea:

«Si despejo el tiempo de aquí lo tengo difícil, porque lo tengo dos veces y al cuadrado… Pues si despejo la aceleración, solo la tengo que introducir una vez.» Elegir qué despejar no es una manía: es la mitad del trabajo.

Arrancar desde el reposo, y el error del doble

Cuando un móvil parte del reposo, v₀ = 0 y las dos ecuaciones se quedan en nada: x = ½·a·t² y v = a·t. Es el caso más cómodo del bloque.

Y es donde se ve mejor el error más repetido de la unidad. Aquí está la respuesta a la pregunta de la entradilla:

Al frenar hasta pararse, la distancia no es la velocidad por el tiempo: eso sale exactamente el doble. Como la velocidad baja de forma uniforme, de media vas a la mitad.

No es una casualidad de unos números concretos: pasa siempre. Pulsa el botón y compara el triángulo con el rectángulo.

Eso da además una comprobación rápida que vale para cualquier MRUA: la velocidad media es la media de la inicial y la final, y multiplicada por el tiempo tiene que dar el espacio. Si no cuadra, hay un fallo de razonamiento que ir a buscar.

¿Choca? Es una frenada con una pregunta más

Cuando hay algo delante, la pregunta cambia de forma pero no de método. Se sigue calculando la frenada; lo único que se añade es una comparación.

Y esa comparación se escribe antes de hacer las cuentas, tal cual: «no chocará si recorre menos de 30 m en el tiempo que tarda en frenar».

Se comparan distancias, no tiempos: lo que necesita para pararse frente a lo que tiene por delante. Comparar tiempos es el error típico de este ejercicio, y no contesta a la pregunta.

Aquí tienes los tres casos juntos, que es como conviene verlos: el mismo método da respuestas distintas según los números.

Y hay un detalle que se cae de las manos si no se piensa: cuando el coche sí choca y preguntas cuándo, sale una ecuación de segundo grado con dos soluciones.

Un resultado sin sentido —un tiempo negativo, o uno posterior a que el móvil se pare— no se tacha sin más: dice que hay un fallo de razonamiento que hay que ir a buscar, o una solución que hay que descartar explicando por qué.

Cuando hay otro móvil por medio

Persecuciones y encuentros ya se vieron en el bloque 3, y no cambia nada: un solo origen, un solo reloj y la condición de siempre, x_A = x_B.

Lo único nuevo es que la ecuación de uno de los dos lleva ahora un t², así que al igualar sale una ecuación de segundo grado.

Y aquí hay que cobrar una deuda del bloque 3. Allí quedó dicho que encontrarse no es ir igual de rápido, y que con dos MRU ni siquiera se podía confundir. Ahora sí se puede.

Cuando uno acelera, hay un instante en que los dos llevan la misma velocidad — y no es el instante en que lo alcanza. En ese momento el que acelera todavía va por detrás: le queda por recuperar el terreno que perdió mientras iba más despacio.

Se ve de un vistazo con las dos gráficas a la vez. Mueve el tiempo y fíjate en los dos puntos marcados:

Las reglas del bloque 2 siguen valiendo enteras. Lo único que hace la aceleración es cambiar la forma de las líneas.

La v-t ya no es horizontal

En el MRU la velocidad no cambiaba, así que su gráfica era una recta horizontal. Con aceleración constante la velocidad sube (o baja) a ritmo fijo: sale una recta inclinada.

Y la pendiente de esa recta ya no es la velocidad — es la aceleración. Se calcula igual que siempre, con dos puntos:

a = v₂ − v₁t₂ − t₁

Con eso, leer una v-t por tramos es directo: «me da una aceleración negativa ya que la pendiente es negativa, es decir, es decreciente. Está frenando».

• Recta que sube. Aceleración positiva: gana velocidad.
• Recta que baja. Aceleración negativa: frena.
• Recta horizontal. Aceleración cero, o sea MRU. Ojo, que es la trampa más repetida: horizontal en una v-t no es estar parado, es ir siempre igual de rápido.

Antes de interpretar cualquier gráfica, mira qué magnitud hay en el eje vertical. La misma línea horizontal significa «parado» en una x-t y «velocidad constante» en una v-t.

El área bajo la v-t

En el bloque 2 el área bajo una v-t era un rectángulo, porque la velocidad no cambiaba, y valía v·t: el espacio recorrido.

Con la velocidad cambiando el recinto deja de ser un rectángulo, pero sigue siendo el espacio recorrido. Solo hay que saber calcular el área de una figura un poco menos cómoda.

Y son tres figuras que en realidad son una: la fórmula del trapecio las cubre todas. Pulsa cada tramo y mira cómo se van sumando los metros.

• Rectángulo. Tramo horizontal: la velocidad es la misma todo el rato. Área = v · Δt.
• Triángulo. Un extremo vale cero: arranca del reposo o se para. Área = ½ · Δt · v.
• Trapecio. El caso general, con dos velocidades distintas y ninguna cero. Área = (v₁ + v₂) / 2 · Δt.

Fíjate en que la fórmula del trapecio es la de siempre disfrazada: (v₁ + v₂) / 2 es la velocidad media, y multiplicada por el tiempo da el espacio. Es la misma comprobación de la parada anterior, dibujada.

La x-t se curva

La gráfica de posición cambia de forma, y merece la pena oír por qué: «al principio iré a 3 metros por segundo y en un segundo recorreré 3 metros, pero si la velocidad aumenta, en el siguiente ya recorreré más… y al final lo que me queda es una curva».

Esa curva tiene nombre —es una parábola—, y es la firma visual del MRUA. Cambia de caso y compara las dos gráficas:

Aquí se cobra el aviso del bloque 2: más pendiente no es acelerar. En una x-t, más pendiente es ir más rápido, sin más. La aceleración no se ve como inclinación: se ve como curvatura.

Con eso, distinguir un MRU de un MRUA en una x-t es mirar si la línea es recta o no. Una recta, por muy empinada que esté, es velocidad constante.

Cómo se dibujan, en la práctica

Para dibujar cualquiera de las dos el método es el mismo, y empieza siempre igual: «para representar una gráfica lo primero es realizar una tabla de valores».

Lo que no da igual es qué tiempos eliges. No valen cuatro números al azar:

Se dan valores en t = 0 y en los tiempos que interesan, no en cualquiera: el instante del encuentro, el de la parada, el que pide el enunciado. Una gráfica que se corta justo antes del punto importante no contesta a nada.

«¿Y qué tiempos cogemos? Pues viendo que se encuentran a los 15 segundos, voy a fijar 4 valores que acaben en 15.» La escala se elige desde la respuesta, no antes de tenerla.

Y un consejo práctico para la parábola: con cuatro o cinco puntos bien elegidos se ve perfectamente la curvatura. Lo que no vale es unirlos con una regla, porque entonces has dibujado un MRU.

No es un movimiento nuevo

Nada de ecuaciones nuevas. Son las dos del bloque 4 con una letra cambiada, y el porqué lo cuenta él así: «cuando estemos en el eje x podremos poner que la r es x, pero cuando estemos en el eje y tendremos que poner que la r es y».

¿Y por qué molestarse en distinguirlos? «Porque en el eje y pasa una cosa muy curiosa: todos los cuerpos que tengan movimiento en el eje y van a tener una aceleración, todos la misma, que es la de la gravedad.»

El convenio de todo el bloque, declarado una vez: el origen en el suelo y el eje y positivo hacia arriba. Con eso, cada signo significa algo.

g: siempre la misma, y siempre hacia abajo

«Esa es la aceleración que denominamos como g, que es menos 9,8 metros segundo al cuadrado. Y ese menos es importantísimo, porque indica que siempre va hacia abajo.»

El sujeto de esa frase es la aceleración, no el cuerpo. La aceleración apunta hacia el centro de la Tierra siempre; el cuerpo puede ir hacia arriba o hacia abajo, y a g le da exactamente igual.

En el bloque 4, con el eje a favor de la marcha, aceleración negativa era siempre frenar. Aquí eso se acaba: la misma g = −9,8 le quita velocidad al cuerpo que sube y se la da al que baja. El signo de g no cambia nunca; lo que cambia es si va a favor o en contra de la velocidad.

Todo cae igual — y qué pinta el aire

Esto no es teoría de pizarra: se ha hecho. En un tubo sin aire, una moneda y una pluma bajan clavadas. Y en 1971 el astronauta David Scott soltó a la vez un martillo y una pluma en la Luna: llegaron juntos al suelo.

De la figura sale también la píldora de los planetas: en la Luna todo cae más despacio y en Júpiter mucho más deprisa, pero dentro de cada planeta la g es la misma para todos los cuerpos. Cambia el tiempo de caída; el empate, nunca.

Por cierto: Galileo no necesitó tirar nada desde ninguna torre. Lo que hizo fue dejar rodar bolas por un plano inclinado — la gravedad «diluida» — para poder cronometrarlas. Esa práctica existe y se hace en el laboratorio.

Qué te dice el enunciado

Antes de tocar un número, el enunciado te está dictando la velocidad inicial. Su traducción, tal cual la cuenta:

• «Se lanza hacia arriba». «Al ser hacia arriba, la velocidad inicial será positiva.»
• «Se lanza hacia abajo». «Esta velocidad llevaría un menos, porque iría hacia allí.»
• «Se deja caer» / «se suelta». «Quiere decir que no lo estoy lanzando con una velocidad: la velocidad inicial sería cero.»

Subir y bajar: un solo movimiento

Aquí está el nudo del bloque. La tentación es partir el problema en dos —una subida y una bajada, cada una con sus cuentas— y de ahí salen los dos errores más repetidos del tema.

«A mí me da igual lo que haga el cuerpo. Que sí, que ha subido. Pero no es que empiece a bajar desde aquí. No. Nuestro movimiento empieza aquí, y el tiempo cero es cuando sale. No pongáis el sistema de referencia arriba: seguid cogiéndolo abajo, que ya tendrán en cuenta las ecuaciones todo lo que suceda.»

Un origen, un reloj y unas ecuaciones que valen de la mano al suelo. Quien «termina» el problema en el punto más alto acaba dando el tiempo de subida como si fuera el del vuelo — o la velocidad de llegada en positivo.

La altura máxima: la condición es v = 0

La condición no hay que memorizarla: se gana pensando. «Este objeto subirá e irá frenándose hasta que llegue a un punto, que es su altura máxima, donde ya no sube más — es decir, se ha parado — y luego ya volverá a bajar.»

Igual que en la frenada del bloque 4: esa condición entra en la ecuación de la velocidad, de ahí sale el tiempo de subida, y con él la otra ecuación da la altura.

Llegar al suelo: la condición es y = 0

Y aquí se cobra la pregunta de la entradilla. «¿La velocidad al llegar al suelo será cero? No. Pegará aquí un golpe. Eso es que llega con una cierta velocidad. La condición no es que la velocidad sea cero: es que la posición, la y, vale cero.»

Esa condición entra en la ecuación de la posición, y como lleva un t², sale una ecuación de segundo grado. Dos reglas de oficio: se iguala a cero antes de aplicar la fórmula, y la raíz que sobra se descarta explicando por qué.

La altura, ¿sobre qué?

«¿Qué altura alcanza?» es una pregunta incompleta hasta que dices desde dónde la mides. En este bloque conviven dos letras, y no son la misma cosa:

• y es la posición: se mide desde el origen, que está en el suelo.
• h es «altura sobre algo»: una resta, h = y − y₀.

Lo que sube y lo que baja: la simetría, con sus límites

En el ejemplo de la pelota salió la simetría: tarda lo mismo en subir que en bajar, y vuelve con la misma rapidez. Es una comprobación buenísima — pero tiene condiciones, y conviene saberlas.

• Solo sin aire. Con rozamiento la vuelta es más lenta que la ida.
• Solo hasta la altura de salida. Si se lanza desde una azotea, pasa de nuevo por la azotea con la misma rapidez (cambiada de signo)… y sigue bajando: al suelo llega más deprisa.

Cuánto ha recorrido de verdad

En el bloque 0 quedó dicho que el espacio recorrido y el desplazamiento no siempre coinciden. Este es el ejemplo perfecto, porque aquí el cuerpo se da la vuelta: lo subido y lo bajado se suman en el espacio, y se cancelan en el desplazamiento.

Si te piden un ejemplo de movimiento con el espacio recorrido distinto del desplazamiento, ya lo tienes: cualquier lanzamiento vertical con vuelta.

Dos cuerpos en el aire

El encuentro del bloque 3, puesto de pie. La condición es la misma de siempre — y_A = y_B — solo que ahora las dos posiciones son parábolas.

Reglas nuevas, cero: son las del bloque 2 y el bloque 4, aplicadas al eje y. Lo único que trae el vertical es velocidad negativa — así que la v-t va a vivir también por debajo del eje.

La v-t: una recta que corta el eje

La velocidad baja siempre al mismo ritmo, así que la v-t es una recta de pendiente −9,8, valga lo que valga v₀.

Y lo importante es el corte con el eje de tiempos: ahí v = 0, y eso es la altura máxima. Encima del eje el cuerpo sube; debajo, cae. La gráfica cuenta el vuelo entero sin una sola ecuación.

Las tres formas de la v-t

Los tres arranques de la terna dan tres rectas distintas — con la misma pendiente:

El área entre la recta y el eje sigue siendo el espacio recorrido, como en el bloque 4: un triángulo (o un trapecio) por encima del eje mientras sube, y otro por debajo mientras baja. Los dos se suman: es el espacio, no el desplazamiento.

Las tres gráficas a la vez

La y-t es una parábola: sube, se dobla y baja. Su vértice cae justo donde la v-t corta el eje. Y la a-t… es una raya plana en −9,8 que no se entera de nada.

Arriba del todo, v = 0 pero a = −9,8. Si la aceleración también se anulase, ¿qué obligaría al cuerpo a volver a bajar? Se quedaría flotando. v = 0 es un instante; la aceleración no descansa ni ahí.

Dos condiciones — y una seña que viene de serie

Un movimiento es circular uniforme cuando pasan dos cosas a la vez — y las dos traen puesta una tercera seña:

• La trayectoria es una circunferencia. No un tramo recto, no una curva cualquiera: una circunferencia, con su centro y su radio.
• El ritmo no cambia. El módulo de la velocidad — lo que marcaría el velocímetro — es constante.
• Y aun así, es un movimiento acelerado. Sí, aunque el ritmo no cambie. El porqué, ahora mismo.

Y aquí salta la paradoja con la que él abre el tema: «¿cómo puede ser que cambie la velocidad pero que a la vez sea constante? Pues claro: hay un cambio de velocidad en dirección, pero la velocidad es constante en módulo».

La pregunta de la rotonda

La aceleración normal

Esa aceleración tiene nombre y dirección fijas: «esta aceleración lo que hace es ir siempre hacia el centro de la circunferencia». Se llama normal porque — son sus palabras — «normal en matemática significa perpendicular»: perpendicular a la trayectoria, apuntando al centro.

También la oirás llamar centrípeta. Son dos nombres de la misma aceleración; de fuerzas, ni una palabra todavía — eso llega en la unidad de dinámica.

Se calcula así, y de momento sin deducción: «sí que sabemos de dónde sale, pero en este curso no veremos su deducción».

El esquema del bloque: una circunferencia

En los bloques anteriores, lo primero era dibujar el eje con su origen y sus signos. Aquí el esquema cambia: «en vez de poner los ejes X e Y, yo lo que hago es dibujar una circunferencia».

El esquema es parte del método, no un adorno: la circunferencia con su radio, los datos encima y las ecuaciones antes de sustituir. Un problema de giros empieza por este dibujo, igual que uno de rectas empezaba por el eje.

¿Y por qué no seguir con x e y?

Se puede intentar — y él mismo enseña dónde se atasca: «para definir la posición tendré que decir que estoy a esta distancia en X y a esta en Y. Es decir, ya tengo que dar dos valores, que ya se empieza a complicar.»

«Y además, una vez de un giro, llegará un punto que estaré en la misma posición otra vez… entonces, ¿cómo diferencio si me he movido o no?»

Ese es el problema que resuelven las magnitudes de la siguiente parada: no se inventan por capricho — hacen falta.

φ, el ángulo descrito

En vez de preguntar «¿a qué x y a qué y estás?», preguntamos «¿cuánto ángulo llevas girado?». Ese ángulo se llama φ y se mide en radianes.

La equivalencia que hay que tener grabada:

ω, la velocidad angular

Y la velocidad de girar. Igual que la velocidad de siempre era espacio entre tiempo, la angular es ángulo barrido entre tiempo — de su propia definición salen la ecuación y las unidades:

Con ella, la ecuación del movimiento:

• En el MRU era x = x₀ + v·t: posición inicial más velocidad por tiempo.
• En el MCU es φ = φ₀ + ω·t: ángulo inicial más velocidad angular por tiempo.

«¿No os suena esto mucho a la ecuación de la posición de un MRU? Claro. Ahora es un movimiento uniforme, solo que en vez de rectilíneo… es circular.» La misma idea, con ángulos.

De r.p.m. a rad/s

El dato casi nunca viene en rad/s: viene en revoluciones por minuto. «Revolución» es vuelta — así que r.p.m. es una velocidad angular disfrazada, con las dos unidades cambiadas.

La conversión, con el factor entero: cada vuelta son 2π rad, y cada minuto, 60 s.

T y f: el tiempo de una vuelta, y las vueltas de un segundo

El periodo no hay que memorizarlo: se razona, como hace él en el vídeo. «Si giramos con velocidad constante, yo tardaré cierto tiempo en dar una vuelta. Pero como voy a velocidad constante, la siguiente vuelta tardará lo mismo… ese tiempo que tardo en dar una vuelta es lo que se denomina periodo.»

• T, el periodo. El tiempo de UNA vuelta. Se mide en segundos. En una vuelta se barren 2π rad, así que ω = 2π/T — y de ahí se despeja T cuando hace falta.
• f, la frecuencia. «Justamente lo contrario del periodo: las vueltas que da por cada segundo.» Se mide en hercios (Hz), y f = 1/T.

Míralo con un caso: las aspas de una batidora dan 5 vueltas en un segundo. Eso ya es la frecuencia: f = 5 Hz. ¿Y el periodo? Si en un segundo caben cinco vueltas, cada vuelta dura un quinto de segundo: T = 0,2 s.

T es tiempo por vuelta (segundos); f es vueltas por segundo (hercios). Son inversas: f = 1/T. Confundir una con otra es el fallo más repetido del tema — si algo gira varias veces por segundo y tu T sale mayor que un segundo, hay un fallo de razonamiento que ir a buscar.

Vueltas y radianes: un factor, no una ecuación

«¿Cuántas vueltas ha dado?» no tiene ecuación propia, y él lo dice tal cual: «yo no tengo ninguna ecuación para vueltas, ¿verdad?». Es un cambio de unidad: cada vuelta son 2π rad.

La peonza que ha girado 7,5 vueltas lleva 7,5 · 2π = 15π ≈ 47,12 rad. Y al revés, de radianes a vueltas, se divide entre 2π — y ojo: el resultado ya no lleva π, porque el π se ha ido en la división. Son vueltas, un número a secas.

De hecho, cada dato de un enunciado de giros es una magnitud disfrazada. Antes de tocar una ecuación, tradúcelos — como en su hoja: DATO, y al lado, qué es.

• «Da una vuelta cada 4 segundos». Es el periodo: T = 4 s.
• «Gira a 300 r.p.m.» Es ω — pero en vueltas y minutos: hay que convertirla.
• «Tiene una frecuencia de 5 Hz». Es f: cinco vueltas por segundo.
• «Mide 1,8 m de diámetro». ⚠ NO es el radio: el radio es la mitad, 0,9 m.

El redondeo, aquí, se venga

En este tema las cadenas de cálculo son largas y la ω lleva un π dentro. Si redondeas a mitad de camino, el error se arrastra y crece. Míralo en un caso real:

Redondea solo al final. Deja la ω en función de π (1,5π; 40π…) y arrastra la forma exacta por todo el cálculo: los π se irán solos, y las vueltas saldrán enteras cuando tengan que salir enteras.

El atajo de la comprobación vale siempre que el dato venga en r.p.m.: las vueltas son r.p.m. × minutos, y la frecuencia, r.p.m./60. Es comprobación, no método — el camino de las ecuaciones es el que funciona también cuando el dato viene en rad/s o en T.

Una regla en vez de cuatro fórmulas

Queda unir los dos mundos: el ángulo que barres (φ, ω) y el camino que recorres de verdad (s, v). El puente es el radio, y la regla, una sola: la magnitud lineal es la angular multiplicada por el radio.

Y con eso sobra memoria, que es justo lo que él repite: «no es que me tenga que aprender estas ecuaciones, sino que sabiendo que la magnitud lineal es la angular por el radio, ya puedo obtener ambas».

El puente exige unidades del SI en las dos orillas: el ángulo en radianes y el radio en metros. Un radio en centímetros que entra sin convertir estropea la s, la v y la aₙ de golpe.

Los dos del tiovivo

El puente tiene una consecuencia que parece mentira hasta que se dibuja: dos personas en la misma plataforma giratoria llevan la misma ω — giran juntas — y distinta v, porque el radio multiplica.

La aceleración, ahora con las dos formas

Con el puente, la aceleración normal de la parada 1 gana una segunda escritura: sustituyendo v = ω·R queda aₙ = ω²·R. Las dos formas dan lo mismo — usa la que case con los datos que tengas.

Y una píldora para la escala: la Tierra alrededor del Sol es — son sus palabras — «no un movimiento exactamente circular, pero casi». Sale a unos 30 000 m/s.

Un Fórmula 1 a 150 km/h va a 41 m/s: «comparando con esto nos podemos hacer una idea de lo rápido que se está moviendo la Tierra con nosotros».

Todo junto, como en la hoja

De dos columnas a cuatro

En el bloque del MCU la tabla tenía dos columnas: MRU y MCU. Ahora entran las otras dos — y al ponerlas juntas se ve algo que por separado no se veía.

No hay ni una casilla nueva: cada columna la trabajó su bloque. Destápalas en orden y ve comparando fila a fila.

La fila de la aceleración

Fíjate en una pareja curiosa: el MRU y el MCU tienen los dos el módulo de la velocidad constante. Y sin embargo uno lleva a = 0 y el otro no.

La velocidad cambia si cambia su módulo o su dirección. En el MCU cambia la dirección en todo momento — por eso hay aceleración aunque el velocímetro no se mueva.

Dos ecuaciones, no cuatro recetas

La fila de las unidades

Queda la fila más traicionera. Las ecuaciones mezclan posición, velocidad y aceleración en la misma línea — y solo cuadran si todas hablan la misma lengua.

Antes de sustituir, todo al SI. La a va en m/s², y eso obliga a metros y segundos en todo lo demás; en el MCU, el puente φ·R exige radianes y metros. Un dato sin convertir estropea el problema entero, esté todo lo demás bien.

El método de toda la unidad empieza igual: «ver qué nos preguntan… y luego imponer una condición». Pero antes hay una decisión que lo condiciona todo y que casi nunca se entrena: decidir qué movimiento es.

Hay cuatro puertas para entrar a esa decisión. Tres son criterios; la cuarta es un atajo, y conviene saber dónde se rompe.

Puerta 1: lo que hace el móvil

Puerta 2: la forma de la gráfica

En una gráfica, el tipo lo dice la forma, nunca la dirección: una gráfica que sube solo cuenta hacia dónde va.

Puerta 3: la ecuación

La pregunta de la entradilla, por fin. Una ecuación de movimiento lleva el tipo escrito dentro — solo hay que saber leerla.

Puerta 4: el dato — un atajo con letra pequeña

El atajo de clase dice: «si te dan una aceleración, es MRUA; si aparecen vueltas, radio o r.p.m., es MCU». Y funciona… cuando la aceleración es un dato.

Pero piensa en una maceta que se cae de un balcón: el enunciado trae la altura y nada más. Ninguna aceleración a la vista — y el movimiento es un MRUA vertical. La g = −9,8 la pones tú, por haber reconocido el movimiento.

El atajo acierta cuando la aceleración es un dato y falla cuando es la incógnita — y en el vertical falla siempre. Por eso no es un criterio: es una pista, y se confirma con la trayectoria y con lo que se mantiene constante.

Las tres condiciones, juntas

Identificado el movimiento, el resto del método ya lo conoces. Son sus preguntas de siempre: «¿qué sé yo de la velocidad cuando el cuerpo se detiene? Que es cero. ¿Qué sé de dos cuerpos cuando se encuentran? Que sus posiciones son las mismas».

Cuando hay dos móviles, se decide dos veces

Un enunciado con dos móviles trae una tentación: escribir dos ecuaciones iguales. Pero el tipo se decide móvil a móvil — uno puede ir uniforme y el otro estar acelerando.

Un resultado tiene que tener sentido con tu problema. Un tiempo negativo, una posición imposible o una gráfica que no corresponde no se tachan y ya: avisan de un fallo de razonamiento que hay que ir a buscar.

La lista de control

Cualquier problema de la unidad, del primero al último, se revisa con las mismas cuatro preguntas:

• El dibujo. ¿Está el esquema con su sistema de referencia — el eje y sus signos, o la circunferencia con su radio?
• Las ecuaciones que se correspondan. ¿Son las del movimiento que ES? Esta es la destreza de este bloque.
• La resolución. ¿Ecuación en letras, flecha, números — y la condición encuadrada?
• El resultado. ¿Con sus unidades y con su significado? Si no sabes qué has obtenido, no has terminado.

En algunos libros verás «MRUR» para el que frena, o una g que cambia de signo según el cuerpo suba o baje. Aquí no: es un MRUA que frena, y g vale −9,8 m/s² siempre — el signo de la aceleración no define el tipo de movimiento, y la g no pregunta hacia dónde vas.

Con este bloque sabes describir cualquier movimiento del curso: dónde está, qué velocidad lleva, cuándo llega, cuántas vueltas da. Pero en toda la unidad hay una pregunta que no hemos tocado: por qué se mueve así.

¿Por qué frena el coche, por qué cae la maceta, por qué la piedra no sale recta? La respuesta tiene nombre — las fuerzas — y unidad propia: la dinámica.

El viaje de esta unidad empezó eligiendo un sistema de referencia y termina aquí, con los cuatro movimientos en una tabla y dos ecuaciones en la cabeza. Lo que viene ahora no sustituye nada de esto: lo explica.